.: Maths au collège :.

On se place dans un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique 10 cm.
Soit le cercle de centre O et de rayon 10 cm.
Soit H un point mobile sur le segment [OK] tel que OK = x cm.
La parallèle à l'axe des abscisses passant par le point H coupe le cercle en A et B.

But : On cherche à étudier les variations de l'aire du triangle ABO lorsque H décrit le segment [OK] et de déterminer la position du point H pour laquelle l'aire du triangle ABO soit maximale.

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Partie I : Etude prélable de la figure :

1) a. Observez ce qui se passe lorsque vous déplacez le point H .

b. Essayez de déplacer les points A et B . Que remarquez-vous ?

2) Quelle est la nature du triangle ABO ? Justifiez.

3) a. Quelles est l'ensemble des valeurs que peut prendre x ?

b. Que pouvez-vous dire de l'aire du triangle quand le point H coïncide avec le point O ? Avec le point K ?

c. Quel vous semble être la valeur maximale atteinte par l'aire ? Pour quelle(s) valeur(s) de x ?

4) a. Complétez le tableau ci-dessous :

Longueur.x.du.segment.[OH]
Aire du triangle ABO

b. L'aire du triangle ABO est-elle proportionnelle à la distance OH ? Justifiez.

Pour mieux visualiser les variations de cette aire en fonction des valeurs de la distance x du segment [OH], nous allons utiliser un autre repère d'origine O' dans lequel nous placerons un point M d'abscisse x et d'ordonnée l'aire A ( x ) du triangle ABO correspondante.
On a choisi de prendre une unité pour représenter 1 cm en abscisse et une unité pour représenter 5 cm² en ordonnée.

Partie II : Exploitation de la représentation graphique :

1) a. Cochez pour cela la case : " Point M ", afin de faire apparaître ce dernier.

b. Vérifiez que lorsque vous déplacez le point H, la position du point M est cohérente avec sa définition.

2) a. Activez la fonction trace du point M (Pour cela, effectuez un clic droit sur le point M et activez la fonction trace)

b. Déplacez le point H afin de faire apparaître suffisamment de point M pour obtenir la représentation graphique.

c. Essayez de décrire avec précision les variations de l'aire du triangle ABO en fonction de la longueur x du segment [OH]. (4 phrases)

3) Répondez aux questions suivantes en vous basant sur la représentation graphique mise en évidence à l'aide de la fonction trace.

a. Trouvez graphiquement l'aire du triangle ABO lorsque x = 4,2.

b. Combien peut-on construire de triangle ayant une aire égale à 35 cm². Justifiez.

c. Même question pour une aire de 50 cm².

d. Même question pour une aire de 54 cm².

Partie III : Justification

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